Aquí voy a explicar un poco los diferentes casos de las derivas.
1)f (x)=4
Derivada exponencial: Es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos.
1)f(x)= 5x3
Derivada de una raíz: Es colocar el índice de la raíz como denominador de una función exponencial y se resuelve como si fuera una derivada de tipo exponencial y se multiplica por la derivada de la base.
La derivada de una función constante: es cero (0).
Ejm:
f ´(x)=0
2)f (x)=123
f ´(x)=0
Derivada exponencial: Es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos.
Ejm:
1)f(x)= 5x3
f´(x)= 3*5x3-1
f´(x)=15x2
2)f(x)= 2x562
f´(x)= 562*2x562-1
f´(x)=1124x561
Derivada de una raíz: Es colocar el índice de la raíz como denominador de una función exponencial y se resuelve como si fuera una derivada de tipo exponencial y se multiplica por la derivada de la base.
Ejm:
y= Raíz cubica de x5 --------------- x5/3
y´= 5/3*x5/3-1*1(Uno es la derivada de la base).
Derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.
Y=u/v32.---------------------- y´= u´*v-u*v´/v2
· y= (5x2-x)/ (3x4-2)
y´= (10x-1)*(3x4-2)-(5x2-x)*(12x3)/(3x4-2)2 R/
· y= (3x2+4)3/(5x3-x)
y´=3(x2+4)2(6x)*(5x3-x)-( 3x2+4)3*(15x2-1)/(5x3-x)2
Derivación en cadena: Sea f(x)= f(g(x)) ________________f´(x)=f´(g(x))*g´(x)
y= Raíz cuadrada de 3x2-1
y= (3x2-1)1/2
y= ½(3x2-1)1/2-1*6x
y= 3x*(3x2-1)1/2
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
.
.
,
Derivación Implícita
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación
dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada 
para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: 
.
para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: .El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:
, de la función implícita:Aplicando la notación 
, a cada término y extrayendo las constantes;
, a cada término y extrayendo las constantes;.En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.
.La regla de la cadena se aplica el término 
, como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,
, como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,quitando paréntesis y ordenando los términos,
,pasando algunos términos al lado derecho,
extrayendo el factor común 
,
,y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:
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