CALENDARIO

SEMANA	MANERA DE CÓMO SE IMPLENENTARA AL PROPUESTA	FECHA
1	CREACION EL BLOG	OCTUBRE 11
2	1)    CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA 2)    PUNTOS CRITICOS :MAXIMOS, MINIMOS  Y  INFLEXION CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA	OCTUBRE 13
3	. ENTRADAS DE LOS SIGUIENTES CONCEPTOS: 1)    DERIVADAS DE LOS PRIMEROS TEOREMAS(DERIVADAS DE UNA FUNCION CONSTANTE, EXPONENCIAL  DE UN PRODUCTO DE UN COCIENTE, DE UNA RAIZ.) 2)    DERIVADAS DE UNA CADENA DERIVACION IMPLICITA	OCTUBRE 14  HASTA 17
4	LEER PROPUESTA DE INTERVENCION. COMENTARLA EN UNA ENTRADA. DAR LA PRIMERA SOLUCION AL PROBLEMA PROPUESTO (SIN USAR CALCULO).	OCTUBRE 18  HASTA 21
5	OPTIMIZACION #2 ACERCAMIENTO AL PROBLEMA	NOVIEMBRE 1
6	OPTIMIZACION # 1 EJEMPLOS	NOVIEMBRE 1

EJEMPLOS DE OPTIMIZACION

1) Una hoja de papel debe tener 18 cm² de texto impreso, márgenes superior e inferior de 2 cm de altura y márgenes laterales de 1 cm de anchura. Obtener razonadamente las dimensiones que minimizan la superficie del papel.

SOLUCIÓN.

2) Hallar las dimensiones del mayor rectángulo inscrito en un triángulo isósceles que tiene por base 10 cm y por altura 15 cm.

Al tener dos triángulos semejantes se cumple que:

OPTIMIZACION #2

UN SECTOR CIRCULAR TIENE UN PERIMETRO DE 10m.
CALCULAR EL RADIO Y LA AMPLITUD DEL SECTOR DE MAYOR AREA

PROBLEMAS DE MAXIMOS, MINIMOS Y PUNTOS DE INFLEXION

La cotización de las sesiones de una determinada sociedad, suponiendo que la Bolsa funciona todos los días de un mes de 30 días, responde a la siguiente ley:

C = 0.01x³ − 0.45x² + 2.43x + 300

1. Determinar las cotizaciones máxima y mínima, así como los días en que ocurrieron, en días distintos del primero y del último.

2. Determinar los períodos de tiempo en el que las acciones subieron o bajaron.

Del 1 al 3, y del 27 al 30 las acciones subieron, y del 3 al 27 bajaron.

CRITERIOS DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA

Primera derivada.

 La base del presente criterio radica en observar que los máximos o mínimos locales son consecuencia de observar los siguientes hechos:

 

1.- Cuando la derivada es positiva la función crece.

2.- Cuando la derivada es negativa la función decrece.

3.- Cuando la derivada es cero la función tiene un máximo o un mínimo.

 

Sea f(x) una función y c un número en su dominio. Supongamos que existe a y b  con a<c<b tales que

 

1.-  f es continua en el intervalo abierto (a,b) (de acuerdo con el teorema de Rolle)

2.- f es derivable en el intervalo abierto (a,b), excepto quizá en c;

3.- f´(x) es positiva para todo x<c en el intervalo y negativa para todo x>c en el intervalo.

 

Entonces f tiene un máximo local en c.

 

Nótese que un criterio similar puede tenerse para obtener un mínimo local, solo es necesario intercambiar  “positivo”  por “negativo”.

la función entre el intervalo (-1,1) tiene un cambio de signo, sin embargo, la función no es diferenciable en el punto x = 0, pese a eso si existe un mínimo local.

Segunda derivada:

Se deriva el primer componente por el segundo componente sin derivar más el primer componente sin derivar por la derivada del segundo componente por la derivada del exponente si fuese el caso.

Ejm:

Y= 20+e/3^{-2x exp3}

Y=20+1/3e^{-2x exp3}

Derivar

Y’ =0+1/3*e^{-2x exp3}*(-6x²)

Y´=2x²*e^{-2x exp3}

Se deriva nuevamente, esa es la segunda derivada:

Y´´= -4x*e^{-2x exp3}+ (-2x²)* e^{-2x exp3}*(-6x²) 

             a´              b             a           b´

y´´= -4xe^{-2x exp3}+12x⁴e^{-2x exp3} Se puede factoriza.

Definición de extremos:

Sea f una función definida en un intervalo I que contiene al número C.

1. f(c) es el mínimo de f en el intervalo I si

f (c) es< o = f(x) para todo x en el intervalo.

2. f(c) es el máximo de f en I si

f(c)> o = f(x) para todo x en I.

A veces se les llama mínimos y máximos absolutos.

CASOS DE LAS DERIVADAS

Aquí voy a explicar un poco los diferentes casos de las derivas.

La derivada de una función constante: es cero (0).

Ejm:

1)f (x)=4

f  ´(x)=0

2)f (x)=123

f  ´(x)=0

Derivada exponencial: Es igual al exponente por la variable elevado a una unidad menos.

Ejm:

1)f(x)= 5x³

f´(x)= 3*5x^3-1

f´(x)=15x²

2)f(x)= 2x⁵⁶²

f´(x)= 562*2x^562-1

f´(x)=1124x⁵⁶¹

Derivada de una raíz: Es colocar el índice de la raíz como denominador de una función exponencial y se resuelve como si fuera una derivada de tipo exponencial y se multiplica por la derivada de la base.

Ejm:

y= Raíz cubica de x⁵  ---------------   x^5/3

y´= 5/3*x^5/3-1*1(Uno es la derivada de la base).

Derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador, divididas por el cuadrado del denominador.

Y=u/v^{32.-­­­­­­­­­-}-------------------- y´= u´*v-u*v´/v²

·         y= (5x²-x)/ (3x⁴-2)

y´= (10x-1)*(3x⁴-2)-(5x²-x)*(12x³)/(3x⁴-2)² R/

·         y= (3x²+4)³/(5x³-x)

y´=3(x²+4)²(6x)*(5x³-x)-( 3x²+4)³*(15x²-1)/(5x³-x)²

Derivación en cadena: Sea f(x)= f(g(x)) ­­­­­­­­­­­­­­­­­­^{________________}f´(x)=f´(g(x))*g´(x)

y= Raíz cuadrada de 3x²-1

y= (3x²-1)^1/2

y= ½(3x²-1)^1/2-1*6x

y= 3x*(3x²-1)^1/2

Derivación Implícita

Funciones explícitas y funciones implícitas

En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como en la ecuación

dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.

Si queremos hallar la derivada  para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x ^-1, obteniendo su derivada fácilmente: .

El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuación x² - 2y³ + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?

El método de regla de la cadena para funciones implícitas

Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.

Ejemplo 1:

 Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.

Ejemplo 2:

 Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.

Ejemplo 3:

Hallar , de la función implícita:

Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;

.

En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.

.

La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,

quitando paréntesis y ordenando los términos,

,

pasando algunos términos al lado derecho,

extrayendo el factor común ,

y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida:

SOLUCION AL PROBLEMA DE LA LATA